hoşgeldiniz - matematik paradoksları

Matematik Paradoksları:

Doğru Parçası Paradoksu:

Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor:

Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.

Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

2+2=5 ¿?

X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti.
X + X = X..........................................X = Y olduğundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladık.
2 = 1 ................................................'X' ler sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' şeklinde yazdık. HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:

George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asıl kümeden daha fazladır. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:

2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan şunu yazabiliriz:

card(2ª) card(a)................1

Çünkü alt kümelerin kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir. Ancak Cantor Teoremine göre:

card(2ª) > card(a)...................2

olmalıdır. 1 ve 2 çelişmektedir.

Karışım Paradoksu:

Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:

Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?

Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:

Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:

İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:

İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:

a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:

a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık.
a=b....................................................(a-b-c) ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

Karışık Bir Hesap:

İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:

5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?

1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)

(1) ve (2) çarpılırsa:

2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:

Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"

Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:

a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.

Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.

Arnauld Paradoksu:

Herkes bilir ki;

(Büyük Sayı / Küçük Sayı) ¹ (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi

Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)

Ayrıca;

(Büyük Sayı / Küçük Sayı) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi

Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1

Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti.

Galileo Paradoksu:

Sonsuzlukla ilgili bir paradoks:

galileo.GIF (13339 bytes)

Yukarıda ilk sırada pozitif tamsayılar, altında iki katları, en altta da kareleri var. İlk seri sonsuz olduğuna göre diğer seriler de sonsuz elemanlı. Ayrıca ilave olarak sayıların küplerini, üç katlarını, on katlarını, yarılarını, üçtebirlerini de yazabiliriz. Hiçbir sonsuz da birbirine eşit değil.

Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:

Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.

Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

-1=1 ¿?

Berber Paradoksu:

Klasik paradokslardan biri daha:

Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?
Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:

1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu:

"Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?" Cevap:
"Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"

Russel'ın "Kümeler" Paradoksu:

Russel'a göre iki çeşit küme var:

a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler.

Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır?

Matematiğin Sırları:

p (pi) Sayısı:

Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, p sayısını verir. İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarfetmişlerdir.

p' nin kronolojik gelişimine baktığımızda günümüzde dahi tam bir sonuç bulunamamıştır. Çeşitli formüller üretilmesine rağmen sadece her seferinde gerçek değere biraz daha yaklaşılmıştır.

Arşimet 3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. İşin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı. Şu anda bilinen değerden birkaç basamak:

p=3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640
628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940
81284811174502841027.....

İlginç Sayılar(1):

3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
.
.
.

Fermat'ın Son Teoremi:

Mesleği Avukatlık olan Fermat, arada bir matematikle de ilgilenirdi. Ama ne ilgilenmek. Aşağıdaki teorem, onun eseri. 1665 yılında 64 yaşında ölen Fermat'ın aşağıdaki teoremi, hâlâ ispatlanamadı. Bu problem üzerinde yıllarca çalışan ünlü alman matematikçi Wolfskehl, 1908 yılında öldüğünde, vasiyet olarak 100bin mark bıraktı. Hem de bu problemi yüzyıl içinde çözecek ilk kişiye verilmek üzere!

Teorem şöyle:

n>2 ve a, b ve c tamsayı olmak üzere

aⁿ + bⁿ= cⁿ çözümü olmadığını ispatlayın.

Fermat bu teoremi yazarken kullandığı kağıdın altında çok az yer kaldığı için cevabı yazamadığını, halbuki çok güzel bir ispatı olduğunu yazmıştır. (Belki Fermat ta cevabı bilmiyordu:))

Bir hatırlatma: Eğer rastgele n=54179653 sayısını formüle uygulayıp eşitliği sağlamadığını göstermediyseniz, bu sayının hâlâ doğru olma şansı var demektir.

İlginç Sayılar(2):

Üç basamaklı herhangi bir sayıyı iki kere yanyana yazarak elde ettiğimiz yeni sayı, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız olarak bölünür(neden?).

Örnek: 831831

831831 / 7       = 118833
831831 / 11     = 75621
831831 / 13     = 63987
831831 / 77     = 10803
831831 / 91     = 9141
831831 / 143   = 5817
831831 / 1001 = 831

Sihirli Kareler:

3 x 3: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden üç karenin toplamı, 15.

8	1	6
3	5	7
4	9	2

4 x 4: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden dört karenin toplamı, 34.

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

5 x 5: Birbirini yatay, dikey ve çapraz takip eden beş karenin toplamı, 65.

3	16	9	22	15
20	8	21	14	2
7	25	13	1	19
24	12	5	18	6
11	4	17	10	23

İlginç Sayılar(3):

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Teorem:

Bütün kare sayılar, 1'den başlamak üzere sırasıyla tek tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.

Örnekler:

5²=25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

11² = 121
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121

Üçgen Sayılar:

1'den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... pozitif doğal sayılar ise, üçgen sayılar:

1, 3(1+2), 6(1+2+3), 10(1+2+3+4), 15(1+2+3+4+5),... üçgen sayılardır. Yani:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...

Pascal Üçgeni:

Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.

Pascal üçgeninin bazı özellikleri:

Kenarlar "1"den oluşur

ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir.

Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...)

Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir.
(Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi)

Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 2⁰, 2¹, 2², 2³,2⁴ ,...
(Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=2⁴)

Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir.
( Örnek: (a+b)³=1a³+3ab²+3a²b+1b³)

Teorem:

Bütün sayılar 2'nin üsleri toplamı (tekrarsız) olarak yazılabilir.

Örnekler:

12 = 2³ + 2²
12 = 8 + 4

45 = 2⁵ + 2³ + 2² + 2⁰
45 = 32 + 8 + 4 + 1

İlginç Sayılar(4):

12 x 42 = 21 x 24
23 x 96 = 32 x 69
24 x 84 = 42 x 48
13 x 62 = 31 x 26
46 x 96 = 64 x 69

Fibonacci Dizisi:

1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...ise, fibonacci dizisi:

1, 1(0+1), 2(1+1), 3(1+2), 5(2+3), 8(3+5), 13(5+8),... yani:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Fibonacci dizisinin kullanıldığı pekçok yerden biri de "Karışık Paradokslar"daki üçgenli ve kareli sorulardır.

İlginç Sayılar(5):

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

e Sayısı:

1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + ... + (1/n!) serisinin toplamı "e" sayısını verir. Yaklaşık değeri:

e = 2.71828182...dir. (e sabit sayısının kullanıldığı yerler ayrıca anlatılacaktır)

(Sonsuz):

¥, sadece matematikçilerin değil, düşünen herkesin ilgisini ve merakını çekmiştir. ¥'u sayı olarak düşünürsek; aklımızı zorlayıp "en büyük sayı"ya ulaştığımızı kabul edelim. O sayının mutlaka 1 fazlası olacağından yeni sayılar elde ederiz.

Meselâ sayı doğrusunda 0 ile 1 arasında sonsuz adet reel sayı vardır. 0 ile 10 arasında da sonsuz adet sayı olduğuna göre bu iki sonsuz da birbirine eşit olamaz. Bu yüzden matematikte "¥/¥" ifadesi tanımsızdır. Aynı şekilde 1^¥ ifadesi de henüz tanımlanamamıştır. Hâlbuki 1'in tüm üsleri 1' eşit olmalıdır.

Kâinatta kaç adet "atom" olduğu sorulsa kaç derdiniz? Herhalde aklınıza gelebilecek en büyük sayıyı söylersiniz. Sizce 10⁷³nasıl bir sayı? Büyük bir ihtimalle sizin tahmininizden küçük. Ama tüm kâinattaki gezegenlerin, yıldızların, asteroidlerin ... atom sayısı işte bu kadar. (Araştırmalar sonucundaki tahmini sayı).

Kâinatın sonu neresi? Herhalde kâinat da bir yerde bulunuyor. Ayrıca genişlediği (şişen bir balon gibi) ilmî bir gerçek. Nerede, neyin içinde, nereleri kaplayarak genişliyor? Bundan sonrası ancak tahmin edilebilir. Şimdilik bunlar sır.

Şimdi ¥'un ne kadar büyük olduğu daha iyi anlaşılıyor (veya anlaşılamıyor:)) değil mi?

İlginç Sayılar(6):

(0 x 9) + 8 = 8
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
(987654 x 9) + 2 = 8888888
(9876543 x 9) + 1 = 88888888
(98765432 x 9) + 0 = 888888888
(987654321 x 9) - 1 = 8888888888